关于 Fano 簇的半稳定退化

考虑曲线芽上具光滑全空间 $X$ 的 Fano 簇族 $\pi: X \longrightarrow B\ni o$。假设一般纤维光滑且特殊纤维 $F=\pi^{-1}(o)$ 具有简单正规交叉。则 $F$ 称为 Fano 簇的半稳定退化。我们证明 $F$ 的对偶复形是维数 $\leq \mathrm{dim}\ F$ 的单形。任意容许维数的单形对任意纤维维数均可实现。利用该结果及三维极小模型纲领，我们重获 Fujita 得到的 del Pezzo 曲面半稳定退化的分类。我们还证明在维数 $\leq3$ 时极大退化唯一且具有平凡单值。