关于电阻抗层析成像的二阶形状优化方法

本文致力于分析一种二阶方法，用于从边界测量中恢复物体 $\Omega$ 内部夹杂物 $\omega$ 的\emph{先验}未知形状。这一逆问题——称为电阻抗层析成像 (electrical impedance tomography) ——具有许多重要的实际应用，因此在过去几年中备受关注。然而，据我们所知，尚未有工作考虑针对该问题的二阶方法。本文旨在填补这一空白：我们研究了状态 $u$ 关于界面 $\partial\omega$ 形状扰动的二阶导数的存在性，然后选择一个成本函数以恢复 $\partial \omega$ 的几何形状，并推导出实现相应 Newton 方法所需的导数表达式。随后，我们研究了该过程的稳定性，并通过证明全局最小化处 Hessian 算子的紧性，解释了为何该逆问题是严重病态的。