关于随机层次网络的无标度与多尺度行为

本文首次提出了块层次随机矩阵的统计性质问题，该问题与通过 mipmapping 过程获得的随机层次网络的结构特征有关。特别地，我们数值计算了由矩阵元素上的伯努利分布层次 $\{q_1,q_2,...\}$ 定义的大型随机邻接矩阵的谱密度，其中 $q_{\gamma}$ 依赖于层次级别 $\gamma$，关系为 $q_{\gamma}=p^{-\mu \gamma}$ ($\mu>0$)。对于谱密度，我们清楚地观察到了无标度行为。我们还表明，对于均值为零且方差为 $\sigma_{\gamma}=p^{-\nu \gamma}$ 的矩阵元素上的高斯分布，当 $|\lambda|\to\infty$ 且 $0<\nu<1$ 时，谱密度 $\rho_G(\lambda)$ 的尾部表现为 $\rho_G(\lambda) \sim |\lambda|^{-(2-\nu)/(1-\nu)}$，而当 $\nu\ge 1$ 时，幂律行为终止。我们还发现，此类层次网络的顶点度分布具有延伸至极宽尺度范围的多尺度分形行为。