关于 Pham-Brieskorn 曲面的刚性

众所周知，在特征为零的代数闭域 $k$ 上，对于任意三个整数 $a,b,c\geq 2$，任何 Pham-Brieskorn 曲面 $B_{(a,b,c)}:= k[X,Y,Z]/(X^a + Y^b + Z^c)$ 在 $a,b,c$ 中至多一个为 2 时是刚性的，且在 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\leq 1$ 时是稳定刚性的。本文考虑任意特征 $p\geq 0$ 的域 $k$ 上的 Pham-Brieskorn 域，并给出 $(a,b,c)$ 上使任意 Pham-Brieskorn 域 $B_{(a,b,c)}$ 为刚性的充分条件。这给出了一种替代方法，用以证明在 $m,q>1$、$p\nmid mq$ 且 $e>r\geq 1$ 时，$k[X,Y,Z,T]/(X^mY+T^{p^rq} + Z^{p^e})= k[x,y,z,t]$ 上不存在固定 $y$ 的非平凡指数映射——这是第一作者在论文 "On the cancellation problem for the affine space $\mathbb{A}^3$ in characteristic $p$" 中用于证明 Zariski 消去问题（ZCP）在仿射 $3$ 空间上不成立的关键结果。我们还给出了 $B_{(a,b,c)}$ 为稳定刚性的充分条件。在此过程中，我们证明了对于满足 $gcd(a,b,c) = 1$ 的整数 $a,b,c\geq 2$ 以及 $F(Y)\in k[Y]$，环 $k[X,Y,Z]/(X^aY^b + Z^c+ F(Y))$ 是一个刚性域。