图的可约划分及其在Hadwiger猜想中的应用

如果从图$G$中通过删除边和顶点以及收缩边可以形成图$H$，则称无向图$H$为图$G$的一个子式。如果$G$不以图$H$作为子式，则称$G$为$H$-自由的。Hadwiger猜想声称$G$的色数可能与其是否包含$K_{n+1}$子式密切相关。为研究$K_{n+1}$-自由的$G$的染色，我们提出图$G$的顶点集$V_G$的可约划分这一新概念。具有$K_n$子式且无$K_{n+1}$子式的图$G$的可约划分（RP）定义为满足以下条件的二元组$\{S_1 \subseteq V_G,S_2\subseteq V_G\}$：\ (1) $S_1 \cup S_2 = V_G, S_1 \cap S_2 = \emptyset$\ (2) $S_2$ 被 $S_1$ 支配，\ (3) 诱导子图 $G\left[S_1\right]$ 是森林，\ (4) 诱导子图 $G\left[S_2\right]$ 是 $K_{n}$-自由的。\ 进一步，可获得$V_G$的一个特殊可约划分（SRP）$\{S_1,S_2\}$，其满足以下条件：\ (1) $S_1 \cup S_2 = V_G, S_1 \cap S_2 = \emptyset$ \ (2) $S_1$ 是独立集，\ (4) 诱导子图 $G\left[S_2\right]$ 是 $K_{n}$-自由的。\ 我们将证明SRP和RP对任意图均总是存在。利用$K_{n+1}$-自由图$G$的SRP，可得到关于$G$染色的一些有用结论。