关于 Parisi 测度的性质

我们研究了 Parisi 测度的结构，它是平均场自旋玻璃中混合 p-spin 模型的泛函序参量。在无外场的情况下，我们证明了 Parisi 测度满足以下性质。首先，在所有温度下，任意 Parisi 测度的支撑集都包含原点。如果它包含一个开区间，则该测度在该区间上具有光滑密度。其次，我们给出了一个关于温度参数的判据，使得 Parisi 测度既不是 Replica Symmetric 也不是 One Replica Symmetry Breaking。最后，我们证明了在 Sherrington-Kirkpatrick 模型中，在临界温度略高时，Parisi 测度支撑集中的最大值是一个跳跃间断点。本文还讨论了这些结果在球形混合 p-spin 模型中的类似情形。作为建立这些事实的工具且具有独立意义，我们研究了相关 Parisi PDE 的泛函，并导出了其解的正则性性质。