顶点加权图中顶点的恰当有序染色

我们引入加权图的恰当有序染色（POC）概念，其推广了图的顶点染色概念。在 POC 下，若 $xy$ 是一条边，则权重较大的顶点获得较大的颜色；在 $x$ 与 $y$ 权重相等时，它们的颜色必须不同。本文启动了对图中这一特殊染色的研究。对图 $G$，我们引入函数 $f(G)$，给出 $G$ 的所有加权方式下 POC 所需颜色数的最大值。我们证明 $f(G)=\ell(G)$，其中 $\ell(G)$ 为 $G$ 中最长路径的顶点数。我们引入的另一函数是 $\chi_{POC}(G;t)$，给出使用 $t$ 个不同权重的 $G$ 的所有加权方式下所需颜色数的最小值。我们证明对任意图 $G$，$\chi_{POC}(G;t)-1$ 与 $\chi(G)-1$ 之比可被 $t$ 界定；事实上，该结果通过确定当 $G$ 为完全多部图时的 $\chi_{POC}(G;t)$ 得以证明。我们还依据底层图某一定向中最长有向路径的顶点数，确定了顶点加权图上给出 POC 所需的最小颜色数。这推广了所谓的 Gallai-Hasse-Roy-Vitaver 定理——一个关于图 $G$ 的色数与 $G$ 的定向中最长有向路径顶点数之间关系的经典结论。