首次适应与末次适应着色的参数化 saga

经典的贪心着色（首次适应）算法按给定顺序考虑输入图 $G$ 的顶点，并为 $G$ 中的每个顶点 $v$ 分配第一个可用的颜色。在 {\sc Grundy Coloring} 问题中，任务是找到一种顶点排序，迫使贪心算法使用尽可能多的颜色。在 {\sc Partial Grundy Coloring} 问题中，任务同样是使用尽可能多的颜色为图着色。然而这一次，我们可以同时选择考虑顶点的顺序以及分配给顶点的颜色。唯一的限制是，如果存在可用颜色，分配给顶点 $v$ 的颜色必须是先前已用于另一个顶点的颜色。{\sc Grundy Coloring} 和 {\sc Partial Grundy Coloring} 是否存在固定参数可解（FPT）算法，即运行时间为 $f(k)n^{\OO(1)}$（其中 $k$ 为颜色数）的算法，曾分别被 Zaker 和 Effantin 等人作为开放问题提出。最近，Aboulker 等人（STACS 2020 和 Algorithmica 2022）通过证明该问题是 W[1]-困难的，对 \Grundycol\ 的问题给出了否定回答。对于 {\sc Partial Grundy Coloring}，他们在不包含 $K_{i,j}$ 作为子图的图（即 $K_{i,j}$-free 图）上获得了 FPT 算法。Aboulker 等人重申了一般图上的 {\sc Partial Grundy Coloring} 是否存在 FPT 算法的问题，并询问 {\sc Grundy Coloring} 在 $K_{i,j}$-free 图上是否存在 FPT 算法。我们给出了 {\sc Partial Grundy Coloring} 在一般图上以及 {\sc Grundy Coloring} 在 $K_{i,j}$-free 图上的 FPT 算法，肯定地解决了这两个问题。我们相信，在获得结果时所使用的关于部分 Grundy 着色的新结构定理以及针对 $K_{i,j}$-free 图的类似“代表族”的集合，可能会有更广泛的算法应用。