Grundy 着色区分树宽与路径宽

结构图参数，如树宽、路径宽和团宽，是参数化复杂性研究的核心课题。该领域研究的一个主要目标是理解这些宽度的“一般性代价”：当我们从更具限制性的概念过渡到更一般的概念时，哪些问题的复杂性状态会从固定参数可处理恶化为难处理？这类问题如今已被充分研究，但有些令人惊讶的是，两个（可以说）最核心的宽度概念——树宽与路径宽——之间的算法边界仍未被理解：目前已知没有自然图问题对其中一个是 W-hard 而对另一个是 FPT。事实上，过去几年的一个惊人进展是观察到，对于许多最具范式性的问题，它们在这两种参数下的复杂性实际上完全一致，尽管树宽是一个更一般的参数。因此，树宽相对于路径宽的额外一般性似乎常常“免费”获得。我们在本文中的主要贡献是揭示第一个这种一般性带来高昂代价的自然例子。我们考虑 Grundy 着色，这是着色的一种变体，旨在计算贪心 First-Fit 算法可能分配给图的最坏着色。我们证明这个被广泛研究的问题在由路径宽参数化时是 FPT；然而，当由树宽参数化时它变得显著更难（W[1]-hard）。此外，我们表明 Grundy 着色在更一般的宽度下发生第二次复杂性跳跃，因为对于团宽它变为 para-NP-hard。因此，Grundy 着色很好地刻画了三个被最广泛研究参数之间的复杂性权衡。为补全图景，我们证明 Grundy 着色由模宽参数化时是 FPT。