关于函数的正常着色

我们研究 Greenwell 和 Lov\'asz 的 $k$-switch 问题的无穷版本。给定无穷基数 ${\kappa}$ 和 ${\lambda}$，对于函数 $x,y\in {}^{\lambda}\kappa$，若对每个 $i\in {\lambda}$ 有 $x(i)\ne y(i)$，则称它们完全相异。函数 $F:{}^{\lambda}\kappa \longrightarrow {\kappa}$ 称为正常着色，若只要 $x$ 和 $y$ 是 ${}^\lambda{\kappa}$ 中完全相异的元素就有 $F(x)\ne F(y)$。称 $F$ 弱一致，若存在两两完全相异的函数 $\{r_{\alpha}:{\alpha}<{\kappa}\}\subset {}^{\lambda}{\kappa}$ 使得 $F(r_{\alpha})={\alpha}$；$F$ 称为紧的，若不存在正常着色 $G:{}^{\lambda}\kappa \longrightarrow {\kappa}$ 使得恰有一个 $x\in {}^{\lambda}{\kappa}$ 满足 $G(x)\ne F(x)$。我们证明给定正常着色 $F:{} ^{\lambda}\kappa\to {\kappa}$，以下陈述等价：$F$ 弱一致，存在 ${\lambda}$ 上的 ${\kappa} ^{+}$-完全超滤子 $\mathscr{U}$，且存在置换 ${\pi}\in Symm({\kappa})$ 使得对每个 $x\in {}^{\lambda}{\kappa}$ 有 $$F(x)={\pi}({\alpha})\ \Longleftrightarrow \ \{i\in {\lambda}: x(i)={\alpha}\} \in \mathscr{U}.$$ 我们还证明存在不能以这种方式得到的紧正常着色。