关于群直积的商表示

设 $G=G_1 \times G_2$ 为有限群。我们知道第二上同调群 $H^2(G,\mathbb C^\times)$ 同构于 $H^2(G_1,\mathbb C^\times) \times H^2(G_2,\mathbb C^\times) \times Hom(G_1/G_1' \otimes_\mathbb Z G_2/G_2', \mathbb C^\times)$。若 $G$ 的 $2$-闭上链 $\alpha$ 对应的 $H^2(G,\mathbb C^\times)$ 上同调类 $[\alpha]$ 属于 $Hom(G_1/G_1' \otimes_\mathbb Z G_2/G_2', \mathbb C^\times)$，则称其为双线性闭上链。本文旨在为双线性闭上链 $\alpha$ 构造 $G$ 的不可约复射影表示 $\rho$。若 $G_1$ 为任意阿贝尔 $p$-群且 $G_2$ 为初等阿贝尔 $p$-群，则我们给出双线性闭上链 $\alpha$ 下 $\rho$ 的构造。对于指数为 $\leq p^2$ 的 $G$ 的子群 $H$，我们也计数了使得不可约射影表示在限制于 $H$ 时表现相同的上同调类 $[\alpha]$ 的数目。最后，我们考虑任意 $p$-群 $G=G_1\times G_2$，并讨论当 $[\alpha]$ 阶为 $p$ 或 $G_2/G_2'$ 为初等阿贝尔时，上述构造如何帮助我们描述 $G$ 的不可约 $\alpha$-表示。我们也讨论了若干例子作为上述结果的应用。