关于平方的乘积表示

固定$k \geq 2$。对于任意$N \geq 1$，令$F_k(N)$表示$\{1,\dots,N\}$中不包含$k$个不同元素且其乘积为平方数的最大子集的大小。Erdős, Sárközy, 和Sós证明了$F_2(N) = (\frac{6}{\pi^2}+o(1)) N$, $F_3(N) = (1-o(1))N$, $F_k(N) \asymp N/\log N$对于偶数$k \geq 4$, 以及$F_k(N) \asymp N$对于奇数$k \geq 5$。Erdős随后询问对于奇数$k \geq 5$是否有$F_k(N) = (1-o(1)) N$。使用概率论证，我们否定了这个问题。