关于数值幂单半环的素性与原子性

本文第一部分建立了一种变体，针对Bienvenu和Geroldinger关于（受限）数值单半环中几乎不存在绝对不可约元的最新结果进行了推广：我们论证了同一类别的单半环中几乎不存在原质元。本文第二部分，致力于研究 $\mathcal{P}_{\text{fin}, 0}(\mathbb{N}_0)$ 的原子密度，受到Shitov、Bienvenu和Geroldinger最近的论文，以及Geroldinger和Tringali提出的问题的启发。在研究原子密度时，我们通过自然划分 $\{ \mathcal{A}_{n,k} : k \in \mathbb{N}_0\}$ 来考察 $\mathcal{A}_n$，即 $\mathcal{P}_{\text{fin}, 0}(\mathbb{N}_0)$ 原子集中最大值为 $n$ 的元素集合：\n\n$$\mathcal{A}_{n,k} = \{A \in \mathcal{A} : \max A \le n \text{ 且 } |A| = k\}$$\n\n对于所有 $n,k \in \mathbb{N}$，其中 $\mathcal{A}$ 为 $\mathcal{P}_{\text{fin}, 0}(\mathbb{N}_0)$ 的原子集。我们特别关注序列 $(\alpha_{n,k})_{n,k \ge 1}$，其中 $\alpha_{n,k}$ 表示块 $\mathcal{A}_{n,k}$ 的大小。首先，我们给出了一些界限并为 $(\alpha_{n,k})_{n,k \ge 1}$ 提供了渐近结果。随后，我们采用概率方法论证对于每个 $n \in \mathbb{N}$，序列 $(\alpha_{n,k})_{k \ge 1}$ 几乎是单峰的。最后，对于每个 $n \in \mathbb{N}$，我们考虑随机变量 $X_n : \mathcal{A}_n \to \mathbb{N}_0$，其定义为 $X_n : A \mapsto |A|$，其概率质量函数为 $\mathbb{P}(X_n=k) = \alpha_{n,k}/| \mathcal{A}_n|$。我们证明对于每个 $m \in \mathbb{N}$，序列 $(\mathbb{E}(X_n^m))_{n \ge 1}$ 的矩在渐近意义上 behaves as that of a sequence $(\mathbb{E}(Y_n^m))_{n \ge 1}$，其中 $Y_n$ 是参数为 $n$ 和 $\frac12$ 的二项分布随机变量。