算术同余幺半群的原子密度

考虑集合 $M_{a,b} = \{n \in \mathbb Z_{\ge 1} : n \equiv a \bmod b\} \cup \{1\}$，其中 $a, b \in \mathbb Z_{\ge 1}$。若 $a^2 \equiv a \bmod b$，则 $M_{a,b}$ 在乘法下封闭，称为算术同余幺半群（ACM）。$M_{a,b}$ 中的非单位元 $n$ 若不能表示为非单位元之积，则称为原子，而 $M_{a,b}$ 的原子密度即为原子元素所占比例的极限。本文中，我们根据 $a$ 和 $b$ 刻画了 $M_{a,b}$ 的原子密度。