关于Gross-Pitaevskii 能量泛函的预条件化黄曲率梯度法：算法、全局收敛性及最优局部收敛率
数值分析
2026-04-03 v3 数值分析
摘要
本文提出了一套统一的框架，用于在黄曲率流形上最小化Gross-Pitaevskii (GP) 能量泛函的预条件化黄曲率梯度（P-RG）方法。该框架使我们能够对现有投影Sobolev梯度方法进行全面分析，并便于构建高效的P-RG算法。在预条件器的 mild 假设下，我们证明了能量耗散和全局收敛性。局部收敛更具挑战性，因而涉及相位和旋转不变性。假设GP泛函满足Morse-Bott 条件，我们推导了在最小值附近的尖锐Polyak-\L ojasiewicz (PL) 不等式。这使得通过条件数 对局部收敛率进行精确刻画成为可能，其中 和 分别是结合算子（预条件器和Hessian）在封闭子空间上光谱的下界和上界。通过结合谱分析与PL不等式，我们识别出实现最佳局部收敛率的准最优预条件器：（ 小正数）。据我们所知，这是首个对GP泛函包含两种对称结构的P-RG方法严格推导局部收敛率的工作。数值实验于快速旋转的玻色-爱因斯坦浓缩物验证了理论结果，并比较了不同预条件器的性能。
引用
@article{arxiv.2510.13516,
title = {On preconditioned Riemannian gradient methods for minimizing the Gross-Pitaevskii energy functional: algorithms, global convergence and optimal local convergence rate},
author = {Zixu Feng and Qinglin Tang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2510.13516},
year = {2026}
}