关于唯一汇点定向的相

唯一汇点定向（USO）是 $n$ 维超立方体图的一种定向，使得每个非空面都包含唯一一个汇点。Schurr 证明，给定任意 $n$ 维 USO 和任意维数 $i$，该维数下的边集 $E_i$ 可分解为等价类（即所谓的相），使得翻转 $E_i$ 的某个子集 $S$ 的定向得到另一个 USO 当且仅当 $S$ 是这些相的某个集合的并。本文中我们证明了关于相结构的多个结果。利用这些结果，我们证明所有相可在 $O(3^n)$ 时间内计算出来，显著改进了先前已知的 $O(4^n)$ 平凡算法。此外，我们证明，给定一个规模为 $poly(n)$ 的布尔电路来简洁编码一个 $n$ 维（无环）USO，判定两条给定边是否属于同一相是 PSPACE-完全的。因此该问题与判定给定电路所编码的超立方体定向是否为一个无环 USO 同样困难 [Gärtner and Thomas, STACS'15]。