论一个由有限记忆自动机定义的几乎处处连续且无处可微的函数

本文致力于研究以下函数 $$f: x=\Delta^{3}_{\alpha_{1}\alpha_{2}...\alpha_{n}...}{\rightarrow} \Delta^{3}_{\varphi(\alpha_{1})\varphi(\alpha_{2})...\varphi(\alpha_{n})...}=f(x)=y,$$ 其中 $\varphi(i)=\frac{-3i^{2}+7i}{2}$, $i \in N^{0}_{2}=\{0,1,2\}$, 且 $\Delta^{3}_{\alpha_{1}\alpha_{2}...\alpha_{n}...}$ 是 $x \in [0;1]$ 的三进制表示。即该函数的值是通过对自变量的三进制表示进行如下数字替换得到的：0 替换为 0，1 替换为 2，2 替换为 1。该函数保持三进制数字 0 不变。本文研究了该函数的主要映射性质以及微分、积分和分形性质。证明了通过额外定义的辅助函数得到的该函数的等价表示。本文译自乌克兰语（乌克兰语版本可在 https://www.researchgate.net/publication/292970012 获取）。2012年，本文的乌克兰语版本由作者在纪念 M. I. Shkil 诞辰80周年的国际科学会议“微分方程理论中的渐近方法”上作了报告（会议论文可在 https://www.researchgate.net/publication/301765319 获取）。2013年，作者在论文“一类具有复杂局部结构的函数”（https://arxiv.org/pdf/1601.06126.pdf）及数篇会议论文（可在 https://www.researchgate.net/publication/301765326, https://www.researchgate.net/publication/303052308 获取）中对本文的研究进行了推广。