关于 Klein-Gordon 方程带时间依赖权重的 Morawetz 估计

我们得到了 Klein-Gordon 流的若干新 Morawetz 估计，形式为 \begin{equation*} \big\||\nabla|^{\sigma} e^{it \sqrt{1-\Delta}}f \big\|_{L^2_{x,t}(|(x,t)|^{-\alpha})} \lesssim \|f\|_{H^s} \end{equation*} 其中 $\sigma,s\geq0$ 且 $\alpha>0$。带有 $|x|^{-\alpha}$ 的 Morawetz 估计的常规方法在含时权重 $|(x,t)|^{-\alpha}$ 的情形下不再适用。此处我们转而将 Littlewood-Paley 理论与 Muckenhoupt $A_2$ 权重应用于其频率局部化估计，这些估计通过对其双线性形式估计的双线性插值获得，而后者需要根据 $\sqrt{1-\Delta}$ 在低高频下的不同标度仔细分析若干相关的振荡积分。