关于具有不稳定奇点的映射

若一个连续映射 f: X->Q 可被嵌入 X->Q 任意逼近，是否能通过伪同伦将某个嵌入变到 f？这个称为同伦实现问题的问题由 Shchepin 和 Akhmet'ev 提出。我们考虑 X 为紧 n-多面体、Q 为 PL m-流形的情形，并证明对于 (n,m)=(3,6)、(1,3) 答案“一般是否定的”；而在以下情形答案为“是”：1) m>2n，(n,m)\neq (1,3)；2) 2m>3(n+1) 且集合 {(x,y)|f(x)=f(y)} 在 X\times X 中具有等变（关于因子交换对合）的映射柱邻域；3) m>n+2 且 f 为一个 PL 映射与一个 TOP 嵌入的复合。在此过程中，我们肯定地（带微小保留地）回答了 Kirby 的一个问题：在小光滑同伦是否蕴含小光滑环境同伦的亚稳定范围内；验证了 Kearton-Lickorish 的一个猜想：在小 PL 协边蕴含小 PL 环境同伦的余维数 \ge 3 情形；以及 Repovs-Skopenkov 提出的一组猜想。