关于半 Lie 群 Tonelli Lagrangian 的 Mané 临界值

本文介绍了在配备强右不变黎曼度量的半 Lie 群上定义的 Tonelli Lagrangian。这些是定义在半 Lie 群切丛上的右不变 Lagrangian，其在每个纤维上具有二次增长。半 Lie 群的主要例子是紧致流形 $H^s$ 或 $C^k$ 微分同胚的群。我们证明了欧拉-拉格朗日流全局存在。随后，我们引入能量的三个阈值，称为 Ma\~n\e 临界值，并证明在半 Lie 群上对正则性和完备性假设的轻微条件下，任意两点可通过最低能量阈值之上的全局 Tonelli 最小路径相连。若对 Lagrangian 作额外假设，这一最小路径是欧拉-拉格朗日流的轨迹。这扩展了 Contreras 于闭合有限维流形的工作至无限维情境。此外，我们的结果也扩展了 Bauer、Harms 和 Michor 最近将其从测地流扩展至 Tonelli Lagrangian 的欧拉-拉格朗日流。作为应用，我们获得了所有与强右不变黎曼度量下的半 Lie 群上 Tonelli Lagrangian 关联的欧拉-波浪利耶 equations 的全局良好定性。