关于带有附加紧致理想的半群 $\boldsymbol{B}_{[0,\infty)}$ 上的局部紧致移位连续拓扑

设 $\boldsymbol{B}_{[0,\infty)}$ 为 Ahre 论文 \cite{Ahre=1981} 中定义的半群。带有从 $\mathbb{R}^2$ 诱导的通常拓扑 $\tau_u$、由 $\boldsymbol{B}_{[0,\infty)}$ 上的自然偏序生成的拓扑 $\tau_L$ 以及离散拓扑的 $\boldsymbol{B}_{[0,\infty)}$ 分别记为 $\boldsymbol{B}^1_{[0,\infty)}$、$\boldsymbol{B}^2_{[0,\infty)}$ 和 $\boldsymbol{B}^{\mathfrak{d}}_{[0,\infty)}$。我们证明，若 $S_1^I$（$S_2^I$）是一个带有附加紧致理想 $I$ 的 Hausdorff 局部紧致半拓扑半群 $\boldsymbol{B}^1_{[0,\infty)}$（$\boldsymbol{B}^2_{[0,\infty)}$），则要么 $I$ 是 $S_1^I$（$S_2^I$）的开子集，要么半群 $S_1^I$（$S_2^I$）是紧致的。此外，我们还证明了，若 $S_{\mathfrak{d}}^I$ 是一个带有附加紧致理想 $I$ 的 Hausdorff 局部紧致半拓扑半群 $\boldsymbol{B}^{\mathfrak{d}}_{[0,\infty)}$，则 $I$ 是 $S_{\mathfrak{d}}^I$ 的开子集。