关于 Kato-Ponce 不等式与分数阶 Leibniz 法则

我们证明,在 Kato-Ponce 不等式 $\|J^s(fg)-fJ^s g\|_p \lesssim \| \partial f \|_{\infty} \| J^{s-1} g \|_p + \| J^s f \|_p \|g\|_{\infty}$ 中,右端的 $J^s f$ 项可以替换为 $J^{s-1} \partial f$。这解决了 Kato-Ponce \cite{KP88} 中提出的一个问题。我们提出并证明了一个针对 $D^s=(-\Delta)^{s/2}$ 及类似算子的新分数阶 Leibniz 法则,将 Kenig-Ponce-Vega 估计 \cite{KPV93} 推广至所有 $s>0$。我们还证明了一族广义且精细化的 Kato-Ponce 型不等式,其中包含许多换子估计作为特例。为了展示各种端点情形下估计的尖锐性,我们构造了几个反例。特别地,我们证明在原始的 Kato-Ponce 不等式中,右端的 $L^{\infty}$-范数不能被较弱的 BMO 范数替代。还包含了一些无散反例。