关于整群环中幂单元素的整数分解

Jespers与Sun猜想：若有限群 $G$ 具有性质ND，即对于整群环 $\mathbb{Z}G$ 中每个幂零元 $n$ 以及每个本原中心幂等元 $e \in \mathbb{Q}G$ 仍有 $ne \in \mathbb{Z}G$，则群代数 $\mathbb{Q} G$ 的单分量中至多一个的约化次数大于 $1$。除了一类非常特殊的群系列外，我们能够处理该猜想，表明其成立——仅有一个例外。为此，我们首先描述了具有所谓SN性质的群，该性质由Liu与Passman在整群环的乘法Jordan分解研究中引入。随后我们研究与性质ND相关的进一步对象。一方面涉及 $\mathbb{Z} G$ 单位群中某个截面，它度量 $G$ 距离具有ND有多远，而Jespers与Sun就此提出了两个我们予以回答的进一步问题。另一方面，我们引入在这些研究中自然出现的两个性质：一个是纯表示论的，另一个可视为表明判定ND可能很困难。其中我们证明对具有SN的群而言这两个概念等价。