关于对称积的整上同调环

我们证明了对于具有有限同调类型的连通CW复形$X$，其对称积的整上同调环模挠率 $H^*(\mathrm{Sym}^n X;\mathbb{Z})/\mathrm{Tor}$ 是 $H^*(X;\mathbb{Z})/\mathrm{Tor}$ 的函子（见定理1）。此外，我们给出了该函子的显式描述。我们还考虑了当$X$为亏格$g$的紧黎曼曲面 $M^2_g$ 这一重要特例。Macdonald在1962年有一个著名定理，给出了整上同调环 $H^*(\mathrm{Sym}^n M^2_g;\mathbb{Z})$ 的显式描述。对Macdonald原始证明的分析表明其包含三个漏洞。这些漏洞均由Seroul在1972年填补，因此他得到了Macdonald定理的完整证明。然而，在非稳定情形 $2\le n\le 2g-2$ 下，Macdonald定理有一个小节即使在 $\mathbb{Q}$ 上也需要轻微修正（见定理2）。