关于 $\mathbb R^3$ 中一类通用可压缩两流体模型的不稳定性

我们关注整个空间 $\mathbb{R}^3$ 中一类通用可压缩两流体模型的不稳定性，其中考虑了毛细压力 $f(\alpha^-\rho^-)=P^+-P^-\neq 0$。对于毛细压力在平衡态附近为严格递减函数（即 $f'(1)<0$）的情形，Evje-Wang-Wen 在某些小性假设下建立了三维 Cauchy 问题常值平衡态的全局稳定性。近来，Wu-Yao-Zhang 证明了 $P^+=P^-$（对应 $f'(1)=0$）情形的常值平衡态全局稳定性。本工作中，我们研究毛细压力在平衡态附近为严格递增函数（即 $f'(1)>0$）时常值平衡态的不稳定性。首先，通过运用 Hodge 分解技术并对相应线性化系统的 Green 函数进行详细分析，我们构造了在 Sobolev 空间 $H^k$ 中随时间指数增长的线性化问题的解，从而得到线性化问题的全局不稳定性结果。此外，借助全局线性不稳定性结果与原非线性系统经典解的局部存在定理，通过对半群性质的精细分析，我们证明了非线性问题在 Hadamard 意义下的不稳定性。因此，我们的结果表明：对于 $f'(1)>0$ 的情形，两流体模型的常值平衡态在 Hadamard 意义下是线性全局不稳定且非线性局部不稳定的，这与 $f'(1)<0$ 以及 $P^+=P^-$（对应 $f'(1)=0$）情形下两流体模型常值平衡态非线性全局稳定形成对比。