二维重力驱动 Navier-Stokes-Korteweg 模型的稳定性与不稳定性

Bresch-Desjardins-Gisclon-Sart 于 2008 年基于线性化的二维 (2D) Navier-Stokes-Korteweg 方程推导出，在毛细流体中毛细作用可减缓 Rayleigh-Taylor (RT) 不稳定性的增长率。受他们线性理论的启发，我们进一步研究在具有 Navier 边界条件的水平周期平板区域中二维不可压缩情形的非线性 RT 问题，并严格验证在我们的二维设定下 RT 不稳定性可被毛细作用抑制。更确切地说，若 RT 密度剖面 $\bar{\rho}$ 满足一个额外的稳定条件，则存在一个毛细系数阈值 $\kappa_{C}$，使得当毛细系数 $\kappa$ 大于 $\kappa_{C}$ 时，RT 平衡状态附近的小扰动解在时间上是\emph{代数}稳定的。特别地，若 RT 密度剖面为线性，则阈值 $\kappa_{C}$ 可由公式 $\kappa_{C}=g /(\pi^2h^{-2}+L^{-2})\bar{\rho}'$ 给出，其中 $2\pi L$ 表示平板区域水平方向上周期单元的长度，$h$ 为平板区域的高度。此外，我们还给出了 $\kappa\in[0,\kappa_{C})$ 时的非线性不稳定性结果。该不稳定性结果表明，若毛细作用强度过小，则无法抑制 RT 不稳定性。