关于奇异性簇的无穷小形变 II

极化射影簇上的仿射锥的形变理论，由Pinkham发起，后由Schlessinger和Wahl进一步发展，是研究奇点和分次形变函子的核心。对于具有丰富线丛 $\mathcal L$ 的射影簇 $Y$，仿射锥 $C(Y)$ 携带自然的 $\mathbb Z$-分次，Pinkham的经典结果识别了其一阶形变空间的各分次部分：$$T^{1}(C(Y))_m \cong H^{1}\!\left(Y,\,T_Y \otimes \mathcal L^{\otimes m}\right).$$ 这表明 $C(Y)$ 的形变来自 $(Y,\mathcal L)$ 的带权形变，负权对应平滑化，非负权对应嵌入形变。我们给出了一个对可能奇异的 $Y$ 的该同构的简化证明，使用的工具是自反微分和 $\mathbb G_m$-等变穿孔锥形变。然后我们计算了若干例子的分次形变空间，展示了从平滑化到刚性的各种现象。作为应用，我们得到了一个实用的刚性判据：若 $H^1(Y,\,T_Y \otimes \mathcal L^{\otimes m})=0$ 对所有 $m\in\mathbb Z$ 成立，则 $C(Y)$ 是刚性的。我们展示了满足这些消失条件的显式极化簇，产生了新的刚性仿射锥。