有理奇点的形变与 Hodge 结构

对于维数为 $n$ 的约化紧复解析空间的一参数退化，我们证明了边界 Hodge 数 $h^{p,q}$（即满足 $pq(n{-}p)(n{-}q)=0$ 者）在纤维的交上同调及其非奇异化上同调中的不变性，假设中心纤维是约化的、射影的且仅有有理奇点。由于我们能证明在所有 Hodge 数 $h^{p,q}$ 上的 Hodge 对称性以及邻近纤维的 Hodge-to-de Rham 谱序列的 $E_1$ 退化（仅假设中心纤维的射影性），这可证等价于结构层同调维数的不变性（在可代数化情形已知）。为证明主定理，我们计算了全空间交复形 Hodge 模上 Hodge 滤过第一个非零元的诱导 $V$-滤过的分次片，其重合于一个非奇异化对偶层的直接像（与 Kollár 关于光滑簇对偶层直接像的猜想相关）。该计算还表明，在进一步假设一般纤维光滑时，主定理情形下局部单值的幂零阶比一般奇点情形小 2。我们在某些假设下可证明主定理的部分逆。