关于相对论 Vlasov-Maxwell 系统的 hp-流线扩散与 Nitsche 格式

我们研究了三维相对论（3 空间维与 3 速度维）含时 Vlasov-Maxwell 系统与 Maxwell 方程的 $hp$-流线扩散（SD）有限元格式及 Nitsche 格式的稳定性与收敛性。对于 Vlasov-Maxwell 系统的 $hp$ 格式，假设精确解属于 Sobolev 空间 $H^{s+1}(\Omega)$，我们导出阶为 ${\mathcal O}(h/p)^{s+1/2}$ 的全局先验误差界，其中 $h (= \max_K h_K)$ 为网格参数，$p (= \max_K p_K)$ 为谱阶。该估计基于局部版本，其中 $h_K=\mbox{ diam } K$ 为相空间时间单元 $K$ 的直径，$p_K$ 为 $K$ 的谱阶（逼近有限元多项式的次数）。至于 Nitsche 格式，通过对场方程作简单运算，首先将 Maxwell 系统化为椭圆型方程。随后，将用于空间离散的 Nitsche 方法与二阶时间格式结合，我们得到最优收敛阶 ${\mathcal O}(h^2+k^2)$，其中 $h$ 为空间网格尺寸，$k$ 为时间步长。此处如经典文献所述，二阶时间格式需要更高阶的正则性假设。文中给出了低维情形下结果的数值验证，且该内容亦为后续计算工作 [20] 的主题。