关于模算子特征向量的有限自由 Fisher 信息

假设 $M$ 是一个冯·诺依曼代数，配备一个忠实的正规态 $\varphi$，并由一个有限集 $G=G^*$ 生成，$|G|\geq 2$。我们证明，如果 $G$ 由模算子 $\Delta_\varphi$ 的具有有限自由 Fisher 信息的特征向量组成，那么中心化子 $M^\varphi$ 是一个 $\mathrm{II}_1$ 型因子，并且 $M$ 要么是 $\mathrm{II}_1$ 型因子，要么是 $\mathrm{III}_\lambda$ 型因子，$0<\lambda\leq 1$，具体取决于 $G$ 的特征值。此外，$(M^\varphi)'\cap M=\mathbb{C}$，$M^\varphi$ 不具有性质 $\Gamma$，并且如果 $M$ 是 $\mathrm{III}_\lambda$ 型因子（$0<\lambda<1$），则它是满的。