关于同胚映射的有限维吸引子

设 $E$ 为线性空间，并假设 $A$ 是以下两者的全局吸引子：(i) 同胚映射 $F:E\rightarrow E$，或 (ii) 在 $A$ 上单射的 $E$ 上半群 $S(\cdot)$。在这两种情况下，$A$ 具有平凡形状，且 $A$ 上的动力学可由同胚映射 $F:A\rightarrow A$ 描述（在第二种情况下，我们令 $F=S(t)$，其中 $t>0$）。如果 $A$ 的拓扑维数有限，我们证明对于任意 $\epsilon>0$，存在嵌入 $e:A\rightarrow{\mathbb R}^k$（其中 $k\sim{\rm dim}(A)$）和（动力学）同胚映射 $f:\R^k\rightarrow\R^k$，使得 $F$ 在 $A$ 上与 $f$ 共轭（即 $F|_A=e^{-1}\circ f\circ e$），并且 $f$ 拥有一个吸引子 $A_f$ 满足 $e(A)\subset A_f\subset N(e(A),\epsilon)$。换言之，我们证明了 $A$ 上的动力学本质上是有限维的。我们将可作为同胚映射吸引子的 ${\mathbb R}^n$ 子集刻画为胞腔集，给出了与 Borsuk 的欧氏空间形状和胞腔性理论相关的各种拓扑结果的初等证明，并证明了一个受控同胚扩张定理。