复模数雅可比椭圆函数的极值性质

给出了对复参数 $m$ 和 $u\in (0,1)$ 的函数 $m\mapsto\mbox{sn}(K(m)u\mid m)$ 的值的透彻分析。首先，证明了若 $m$ 不属于由不等式 $|z-1|<1$ 和 $|z|>1$ 确定的 $\mathbb{C}$ 中区域，则该函数的绝对值不超过 1。所研究函数的全局最大值总是位于该区域内。更精确地，证明了若 $u\leq1/2$，则全局最大值位于 $m=1$ 处，值为 $1$；而若 $u>1/2$，则全局最大值位于区间 $(1,2)$ 内，且其值大于 $1$。此外，更精细的极值性质通过数值方法研究。最后，给出了在 Laplace 型积分和某些复 Jacobi 矩阵谱分析中的应用。