涉及谱函数的最大子模覆盖问题的近似及其在实验设计中的应用

我们研究了一族由参数 $p\in[0,1]$ 定义的组合优化问题，该问题涉及应用于半正定矩阵的谱函数，并在最优实验设计理论中具有一定应用。当 $p$ 趋近于 0 时，这族问题趋于经典最大覆盖问题的推广；当 $p$ 趋近于 1 时，则退化为背包问题的一个平凡实例。在本文中，我们建立了一个矩阵不等式，表明目标函数对所有 $p\in[0,1]$ 都是子模的，由此可知，常用于该问题的贪心方法总能给出一个在最优值 $1-1/e$ 范围内的设计。接下来，我们研究了通过对连续松弛问题的解进行舍入得到的设计，这种方法已被多位作者采用。我们证明了一个不等式，该不等式推广了最优设计理论中的一个经典结果，并使我们能够给出一个舍入过程，其近似因子在 $p$ 趋近于 1 时趋近于 1。