即插即用压缩感知的精确与鲁棒恢复

在即插即用（PnP）算法中，使用现成的去噪器进行图像正则化。PnP能产生最先进的结果，但其理论方面尚不清楚。本文考虑如下问题：类似于经典压缩感知（CS），我们能否在去噪器和感知矩阵满足适当条件时，从理论上有通过PnP恢复真实值？一个障碍是，由于PnP是一个算法框架，其解不必是某个目标函数的极小化子。最近有研究表明，可将凸正则化器 $\Phi$ 与一类线性去噪器相关联，使得PnP等价于求解涉及 $\Phi$ 的凸问题。受此启发，我们考虑CS的PnP类比：最小化 $\Phi(x)$ 满足 $Ax=A\xi$，其中 $A$ 为 $m\times n$ 随机感知矩阵，$\Phi$ 为与线性去噪器 $W$ 相关联的正则化器，$\xi$ 为真实值。我们证明，若 $A$ 为高斯矩阵且 $\xi$ 在 $W$ 的值域内，则当 $rank(W)\leq m$ 时极小化子几乎必然为 $\xi$，而当 $rank(W)> m$ 时几乎不为。因此，PnP去噪器的值域充当了信号先验，其维数标志着精确恢复从失败到成功的急剧转变。我们将结果推广到亚高斯感知矩阵，只是精确恢复仅以高概率成立。对于含噪测量 $b = A \xi + \eta$，我们考虑鲁棒形式：最小化 $\Phi(x)$ 满足 $\|Ax-b\|\leq\delta$。我们证明，对于最优解 $x^*$，在测量数足够大时，以高概率其失真 $\|x^*-\xi\|$ 被 $\|\eta\|$ 和 $\delta$ 所界。特别地，我们可导出CS的采样复杂度作为失真误差与成功概率的函数。我们讨论了这些结果到随机傅里叶测量的推广，进行了数值实验，并探讨了由此产生研究方向。