量子态幂的迹估计

我们研究了计算复杂度问题，即给定大小为 $\text{poly}(n)$ 的 $n$ 比特混合量子态 $\rho$ 的状态准备电路，估计其幂的迹 $\text{tr}(\rho^q)$。该量度与常常可以互换的Tsallis 熵 $\text{S}_q(\rho) = \frac{1-\text{tr}(\rho^q)}{q-1}$ closely related，其中 $q=1$ 对应于von Neumann 熵。对于任何非整数 $q \geq 1 + \Omega(1)$，我们提供了一个用于估计 $\text{S}_q(\rho)$ 的量子估计器，其时间复杂度为 $\text{poly}(n)$，显著优于Acharya、Issa、Shende 和 Wagner (ISIT 2019)、Wang、Guan、Liu、Zhang 和 Ying (TIT 2024)、Wang、Zhang 和 Li (TIT 2024) 以及 Wang 和 Zhang (ESA 2024) 等人此前最好的 $\exp(n)$ 结果。我们的加速方法通过引入对正数幂函数的可高效计算的均匀近似值到量子奇点值转换中实现。我们的量子算法揭示了在量子 $q$ -Tsallis 熵差问题 (TsallisQED$_q$) 的计算复杂度中，在 $q=1$ 和常数 $q>1$ 之间存在尖锐相位转变，特别是决定差值 $\text{S}_q(\rho_0) - \text{S}_q(\rho_1)$ 是至少 $0.001$ 还是最多 $-0.001$： -对于任何 $1+\Omega(1) \leq q \leq 2$，TsallisQED$_q$ 为 $\mathsf{BQP}$-complete，这意味着纯度估计也为 $\mathsf{BQP}$-complete。 -对于任何 $1 \leq q \leq 1 + \frac{1}{n-1}$，TsallisQED$_q$ 为 $\mathsf{QSZK}$-hard，这导致对 von Neumann 熵的近似困难，因为 $\text{S}_q(\rho) \leq \text{S}(\rho)$，只要 $\mathsf{BQP} \subsetneq \mathsf{QSZK}$。这些 hardness 结果基于新的不等式推导，涉及 $1 \leq q \leq 2$ 范围内的量子 $q$ -Jensen-(Shannon-)Tsallis 发散，这本身独具兴趣。