估计量子态幂迹的资源高效算法

估计量子态幂的迹 $\text{Tr}(\rho^k)$（对于 $k$ 个相同量子态）是量子信息处理中的一项基础任务，具有众多应用，包括量子态的非线性函数估计和纠缠检测。在近量子设备上，减少所需的量子电路深度、多量子比特量子操作的数量以及此类计算所需的量子态副本数量至关重要。在本工作中，受 Newton-Girard 方法的启发，我们通过引入一种仅需 $\mathcal{O}(\widetilde{r})$ 个量子比特和 $\mathcal{O}(\widetilde{r})$ 个多量子比特门的算法显著改进了现有结果，其中 $\widetilde{r} = \min\left\{\text{rank}(\rho), \left\lceil\ln\left({2k}/{\epsilon}\right)\right\rceil\right\}$。该方法高效，因为它采用 $\widetilde{r}$-纠缠副本测量而非传统的 $k$-纠缠副本测量，同时在渐近意义上保持了已知的样本复杂度上界。此外，我们证明即使对于大整数 $k > \widetilde{r}$，估计 $\{\text{Tr}(\rho^i)\}_{i=1}^{\widetilde{r}}$ 也足以近似 $\text{Tr}(\rho^k)$。这为解决问题引入了秩依赖的复杂度，为低秩量子态提供了高效算法，同时在秩未知或量子态非低秩时也改进了现有方法。基于这些优势，我们将算法扩展到了任意可观测量的 $\text{Tr}(M\rho^k)$ 估计以及多个量子态的 $\text{Tr}(\rho^k \sigma^l)$ 估计。