从多余一个复制副本获得估计量子状态非线性属性的指数优势

推断量子状态的非线性特征在量子信息科学中至关重要，但由于量子力学的内在线性特性，仍面临挑战。人们普遍认识到，量子存储和相干操作有助于避免指数样本复杂度，通过将非线性特性映射到多个目标状态副本上的线性可观测量。本文证明，这种转换不仅充分而且是必要的。具体而言，我们证明，对于广泛的可观测量 O，受限制于 (k-1) 副本联合测量的任何协议都难以估计 $\mathrm{tr}(\rho^{k} O)$，而获得一个额外的副本可将复杂度降低到常数。这些结果首次为任意整数 k>2 建立了 (k-1) 与 k 副本协议之间的指数分离，引入了基于副本的量子优势的细粒度层次结构，并解决了文献中的一个开放问题。技术核心是显示，任何由通过张量积和混合构建的大型 Haar 随机态组成的集合，都难以与其平均值区分。利用这一原理，我们进一步证明，k 副本联合测量也是区分秩为 k 的密度矩阵与秩为 (k-1) 的密度矩阵所必需的。总体而言，我们的工作描绘了联合测量力量的尖锐边界，突显了量子学习理论中的资源-复杂度权衡，并深化了对量子力学内在线性特性的理解。