量子态非线性矩的精确副本阈值

对多个量子态的联合测量提供了对非线性可观测量（如 $\operatorname{tr}(\rho^t)$）的访问方式，但副本数量是否标志着信息论资源边界的清晰分界一直未明了。对于每一个固定阶数 $t\ge 3$，现有协议显示 $\lceil t/2\rceil$ 个副本即可通过多项式样本估计 $\operatorname{tr}(\rho^t)$，然而是否存在必须伴随随维数增长的样本复杂度障碍，直到现在仍是开放问题。我们证明了在副本受限的样本/复制模型中，任何受限于 $\lceil t/2\rceil-1$ 个副本的协议都需要维数增长的样本复杂度，而 $\lceil t/2\rceil$ 个副本已足够（由已有工作证明）。因此，固定阶数纯矩的精确副本阈值为 $\lceil t/2\rceil$。等价地，对于固定阶数纯矩，额外的一个相干副本不仅是有用的，还标志着副本受限模型中多项式样本估计与维数增长 regime 之间的精确阈值。我们进一步展示了相同的阈值规律也适用于一广泛的可观测量加权矩 $\operatorname{tr}(O\rho^t)$，包括 Pauli 可观测量以及其他受限算子范数和宏观迹线范数的可观测量。相干副本数量因此作为非线性量子态估计的真正离散资源。