量子态幂的�迹估计：样本复杂度与计算难度

在各种基本量子属性中，如Rényi 熵和Tsallis 熵，tr(\rho^q)的计算备受关注。Liu和Wang (SODA 2025) 的近期工作表明，对于（可能是）非整数q>1，tr(\rho^q)可使用与维度无关（且与秩无关）的样本复杂度\~O(1/\epsilon^{3+\frac2{q-1}})进行误差为\epsilon的估计，并给出下界\Omega(1/\epsilon)。此外，结合Liu (STACS 2026) 的后续工作，显示相应的承诺问题为${\sf BQP}$-complete。本文显著改进并扩展了该问题的样本复杂度下界。进一步地，我们指出对于0<q<1，除非${\sf BQP}={\sf NIQSZK}$，否则该问题不可能存在高效估计器，这被认为几乎不可能。具体而言，我们的主要结果如下。- 对于q>2，我们以匹配的上下界\~\Theta(1/\epsilon^2)确定了样本复杂度。- 对于1<q<2，我们获得上界\~O(1/\epsilon^{\frac2{q-1}})，并给出下界\Omega(1/\epsilon^{\max\{\frac1{q-1},2\}})用于维度无关（实际上是秩无关）估计器。- 对于0<q<1，我们获得上界O((d/\epsilon)^{\frac2{q}})，并给出下界\Omega((d/\epsilon)^{\frac1{q}})用于d维态（实际上，这两个下界可自然细化为依赖于秩而非维度）。相应的承诺问题为${\sf NIQSZK}$-hard，这与q>1的情况形成鲜明对比。技术上，我们的上界通过基于弱Schur抽样的量子估计器获得，这与先前基于量子奇异值转换和samplizer的方法形成鲜明对比。