测量更少，学到更多：学习量子密度矩阵非线性性质的二次加速

量子信息科学的一项基本任务是测量量子态的非线性泛函，如 $\mathrm{Tr}(\rho^k O)$。直观上，人们期望计算 $k$ 阶量通常需要 $O(k)$ 份态 $\rho$ 的副本，并且我们在对 $\rho$ 的样本访问下严格建立了这一下界。令人惊讶的是，当通过一个制备 $\rho$ 纯化的酉算符获得纯化访问时——这在量子模拟和计算中自然出现——这一限制可以被克服。在这一设定下，我们找到了 $\Theta(\sqrt{k})$ 的不同下界，并提出了一种达到该界的量子算法，展示了相对于基于样本方法的二次优势。关键技术革新在于设计的量子算法与最优多项式逼近理论——特别是针对幂函数边界行为的 Chebyshev 多项式逼近。我们的结果揭示了量子态样本访问与纯化访问之间的基本区别，对估计量子熵和量子 Fisher 信息、实现量子虚拟蒸馏与冷却，以及利用经典阴影评估其他多重非线性量子可观测量具有广泛意义。