关于估计量子 $\ell_{\alpha}$ 距离的研究

我们研究了在给定 $n$ 量子比特量子态 $\rho_0$ 和 $\rho_1$ 的 $\operatorname{poly}(n)$ 大小的态制备电路的情况下，估计量子 $\ell_{\alpha}$ 距离 ${\mathrm{T}_\alpha}(\rho_0,\rho_1)$ 的计算复杂性，该距离通过 Schatten $\alpha$-范数 $\|A\|_{\alpha} = \mathrm{tr}(|A|^{\alpha})^{1/\alpha}$ 定义。对于 $\alpha > 1$，此量作为迹距离的下界。对于任意常数 $\alpha > 1$，我们开发了一种高效的、与秩无关的量子估计器，用于估计 ${\mathrm{T}_\alpha}(\rho_0,\rho_1)$，其时间复杂度为 $\operatorname{poly}(n)$，相比 Wang, Guan, Liu, Zhang, 和 Ying (TIT 2024) 先前最佳的 $\exp(n)$ 结果，实现了指数级加速。我们的改进利用了量子奇异值变换中带符号正幂函数的高效可计算一致多项式逼近，从而消除了对量子态秩的依赖。我们的量子算法揭示了具有 Schatten $\alpha$-范数的量子态区分问题（QSD$_{\alpha}$）在计算复杂性上的二分性，该问题涉及判断 ${\mathrm{T}_\alpha}(\rho_0,\rho_1)$ 是至少为 $2/5$ 还是至多为 $1/5$。这种二分性出现在常数 $\alpha > 1$ 和 $\alpha=1$ 的情况之间：- 对于任意 $1+\Omega(1) \leq \alpha \leq O(1)$，QSD$_{\alpha}$ 是 $\mathsf{BQP}$-完全的。- 对于任意 $1 \leq \alpha \leq 1+\frac{1}{n}$，QSD$_{\alpha}$ 是 $\mathsf{QSZK}$-完全的，这意味着除非 $\mathsf{BQP} = \mathsf{QSZK}$，否则不存在高效的量子估计器用于估计 $\mathrm{T}_\alpha(\rho_0,\rho_1)$。这些困难性结果源于基于新的、与秩相关的量子 $\ell_{\alpha}$ 距离不等式的归约，其中 $1\leq \alpha \leq \infty$，这些不等式本身也具有独立的研究意义。