关于在开子集上单射的簇的自同态

我们考虑簇的自同态成为自同构的条件。例如，有一个著名的定理称为 Ax-Grothendieck 定理，指出簇的任何单射自同态都是双射的。在特征零的代数闭域上，簇自同态的双射性意味着该自同态是自同构，因此 Ax-Grothendieck 定理给出了我们所考虑的条件之一。还有一个猜想称为 Miyanishi 猜想，它声称对于特征零的代数闭域上的任何簇自同态，如果它在余维数至少为 $2$ 的闭子集外是单射的，那么它就是自同构。最近，I. Biswas 和 N. Das 证明了任何满足 Miyanishi 猜想条件的自同态在某些条件下会诱导该簇奇异轨迹的自同构。在本文中，我们证明了 Miyanishi 猜想对于任何满足 I. Biswas 和 N. Das 条件的三维簇成立。对于更高维的簇，我们还利用极小模型程序理论观察了除子收缩如何影响自同态。我们可以证明，Miyanishi 猜想对于具有到典范模型或双有理超刚性 Mori 纤维空间的除子收缩序列的射影簇的任何开子集均成立。