关于 Dedekind zeta 函数值的 Diophantine 性质

我们研究了 Dedekind $\zeta$ 函数在实数值 $\sigma \in \mathbb{R}$ 处的特殊值的 Northcott 性质与 Bogomolov 性质。特别地，我们证明了当 $\sigma \geq \frac{1}{2}$ 时，Bogomolov 性质不成立。若 $\sigma > 1$，我们构造了某些具有任意大次数的数域族，其 Dedekind $\zeta$ 函数 $\zeta_K(s)$ 在 $s = \sigma$ 处取得任意小的值。另一方面，若 $\frac{1}{2} \leq \sigma \leq 1$，我们利用适用于 $\frac{1}{2} \leq \sigma < 1$ 的 Soundararajan 共振法，或适用于 $\frac{1}{2} < \sigma \leq 1$ 的 Granville 与 Soundararajan 以及 Lamzouri 关于随机 Euler 乘积的结果，构造了合适的二次数域族。我们通过证明 Dedekind $\zeta$ 函数连同次数对于所有满足 $\mathrm{Re}(s) <0$ 的复数 $s\in{\mathbb{C}}$ 满足 Northcott 性质，完成了这项研究，从而推广了 Généreux 和 Lalín 先前的工作。