关于自治系统中庞加莱映射同调 Conley 指标的确定

本文证明了一个关于计算旋转局部动力系统 $\phi$ 中某截面相关联庞加莱映射的孤立不变集的同调 Conley 指标的定理。设 $(N,L)$ 为 $\phi$ 的离散化 $\phi^h$（$h>0$）的指标对，令 $S$ 表示 $N\setminus L$ 的不变部分；可知 $S$ 的截面 $S_0$ 是庞加莱映射的孤立不变集。定理断言：若 $N$ 的截面 $N_0$ 与 $L$ 的截面 $L_0$ 为 ANR，某些链 $u_j$ 的同调类 $[u_j]$ 构成 $H(N_0,L_0)$ 的一组基，且对某些标量 $a_{ij}$，链 $u_j$ 与 $\sum a_{ij}u_i$ 在 $(N,L)$ 的覆盖对 $(\widetilde N,\widetilde L)$ 中同调，并且该同调关系在 $\phi^t$（$t\in [0,h]$）诱导的变换下于 $(\widetilde N,\widetilde L)$ 中保持，则 $S_0$ 的同调 Conley 指标等于矩阵 $[a_{ij}]$ 的 Leray 约化。特别地，无需庞加莱映射或其近似值的任何信息。对于由 $T$-周期非自治常微分方程（有理 $T/h>1$）生成的系统的特例，该定理已在 M.\,Mrozek, R.\,Srzednicki, 和 F.\,Weilandt 的论文（SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 14 (2015), 1348-1386）中证明，并启发了确定该指标的算法构造。