关于修正贝塞尔函数的行列式与双合流 Heun 方程整函数解

我们研究了一类著名线性微分方程整函数解的存在性问题，这些方程是超导中模拟约瑟夫森效应的非线性方程的线性化。我们考虑第一类修正贝塞尔函数 $I_j(x)$，它们是解析函数族 $e^{\frac x2(z+\frac 1z)}$ 的洛朗级数系数。对每个 $l\geq1$，我们研究由参数 $k, n\in\mathbb Z^l$，$k_1>\dots>k_l$，$n_1>\dots>n_l$ 所参数化的 $(l\times l)$-矩阵函数族，其元素由第一类修正贝塞尔函数构成 $a_{ij}(x)=I_{k_j-n_i}(x)$，$i,j=1,\dots,l$。我们证明，对每个如上所述的 $l\geq1$，$k,n\in\mathbb Z^l$ 以及 $x>0$，它们的行列式 $f_{k,n}(x)$ 为正。上述行列式与一个（以 $l$ 为指标）双合流 Heun 方程族序列密切相关，这些方程是具有两个非正则奇点（分别在零点和无穷远点）的二阶线性微分方程。V.M.Buchstaber 和 S.I.Tertychnyi 对一类显式参数值构造了它们在 $\mathbb C$ 上的全纯解，并猜想对其他参数值不存在这样的解。他们将此猜想归结为第二个猜想：若一个适当的第二个相似方程有多项式解，则第一个方程没有整函数解。他们在额外假设（第三个猜想）下证明了后一论断，即对 $k=(l,\dots,1)$，$n=(l-1,\dots,0)$ 及每个 $x>0$，有 $f_{k,n}(x)\neq0$。我们更一般的结果蕴含了上述所有猜想，连同它们在超导约瑟夫森结过阻尼模型中的推论：将锁相区域的邻接点描述为显式解析方程的解。