关于约瑟夫森结的扩展模型、具有多项式解的线性系统、行列式曲面与 Painlevé III 方程

我们研究由 V.M. Buchstaber 和 S.I. Tertychnyi 引入并研究的一个三参数线性特殊双合流 Heun 方程族，它是超导中约瑟夫森结模型的等价表述。Buchstaber 和 Tertychnyi 已证明，使得该 Heun 方程具有多项式解的复参数集是显式平面代数曲线的并集：即由 $\ell\in\mathbb N$ 索引的谱曲线。在与 I.V. Netay 合作的论文中，作者证明了每条谱曲线在 Heun 方程参数下是不可约的（在约瑟夫森结模型参数下由两个不可约分支组成）。Netay 通过数值计算发现并猜想了一个关于谱曲线的亏格公式。他将该猜想归结为断言每条曲线在删去坐标轴的 $\mathbb C^2$ 中是正则的。在此，我们证明了 Netay 的正则性和亏格猜想。为了证明，我们研究了一个等价于 Heun 方程的线性系统族的四参数扩展。它们 yielded 作者在与其 Yu.P. Bibilo 合作的论文中引入的约瑟夫森结扩展模型的等价表述。我们描述了所谓的行列式曲面，即由具有多项式解的线性系统构成的显式代数曲面，其由 $\ell\in\mathbb N$ 索引。谱曲线是它们与初始 Heun 方程族超平面的交集。我们证明了每个行列式曲面在适当的超平面外是正则的，并由两个有理不可约分支组成。证明使用了 Stokes 现象理论、全纯向量丛技术、由 Painlevé 3 方程控制的等单参线性系统族对行列式曲面的叶状结构，以及该叶状结构与初始模型的横截性。