论Dedekind问题、Sperner定理的稀疏版本及布尔格中给定大小的反链

Dedekind问题可追溯至1897年，旨在求取$n$元素布尔格$B_n$中包含的反链总数$\psi(n)$。我们使用一种基于统计物理中集团展开的新近发展方法来研究Dedekind问题，并由此获得了关于$B_n$中反链数量及其典型结构的若干新结果。我们得到了$\psi(n)$以及对于任意固定$\beta>0$时大小为$\beta \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$的反链数量的详细估计。我们还建立了Sperner定理的稀疏版本：我们确定了几乎所有大小为$m$的反链都包含在$B_n$中间层的性质的锐阈值和标度窗口。