关于群的核心 quandles

我们回顾 quandle 的定义，特别是群 $G$ 的核心 quandle $\mathrm{Core}(G)$，它由 $G$ 的底层集合构成，带有二元运算 $x\lhd y = x y^{-1} x$。这是一个对合 quandle，即除满足定义 quandle 的其他恒等式外，还满足恒等式 $x\lhd (x\lhd y) = y$。我们考察了群与对合 quandles 中的轨迹 $(x_i)_{i\in\mathbb{Z}}$（在群的情形下，形如 $x_i = x z^i$（其中 $x,z\in G$）的序列及其他刻画；在对合 quandle 中，为满足 $x_{i+1}= x_i\lhd\,x_{i-1}$ 的序列）。指出了对合 quandle 可嵌入群的核心 quandle 的一族必要条件。建立了群及其核心 quandles 中成立的恒等式之间的若干蕴含关系。对有限生成群 $G$ 生成 quandle $\mathrm{Core}(G)$ 所需元素个数给出了上下界。提出了若干问题。