论Flint Hills级数的收敛性

目前尚不清楚Flint Hills级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3\cdot\sin(n)^2}$是否收敛。我们证明该问题与$\pi$的无理性测度（记为$\mu(\pi)$）密切相关。特别地，Flint Hills级数的收敛将意味着$\mu(\pi) \leq 2.5$，这比目前已知的最佳上界$\mu(\pi)\leq 7.6063...$要强得多。这一结果容易推广到形如$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^u\cdot |\sin(n)|^v}$的级数，其中$u,v>0$。我们利用目前已知的$\mu(\pi)$界来推导保证此类级数收敛的$u$和$v$的条件。