无理测度的界与弗林特-希尔斯级数

目前尚不清楚弗林特-希尔斯级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\sin^2(n)}$ 是否收敛。Alekseyev (2011) 将该问题与 $\pi$ 的无理测度联系起来，即 $\mu(\pi) > \frac{5}{2}$ 将蕴含弗林特-希尔斯级数的发散。在本文中，我们建立了一个近乎完全的逆命题，即 $\mu(\pi) < \frac{5}{2}$ 将蕴含收敛。关于接近的有理逼近之密度的相关结果可能具有独立的意义。对剩余的边缘情形 $\mu(\pi) = \frac{5}{2}$ 作了简要讨论，并有证据表明其难以解决。